72の法則

「72の法則」とは、「元本が$x$円で、年$r$%の利子がつく時、$n$年後に2倍になるとすると、$n ≒\frac{72}{r}$で求められる」というものです。

本当にそうなのか、計算してみましょう。

$$
\begin{split}
2x &= x\left(1 + \frac{r}{100} \right)^n \\
\ln 2 &= n \ln \left(1 + \frac{r}{100} \right)
\end{split}
$$

ここで、

$$
\begin{split}
\ln \left(1 + x \right) &\approx x \ \ (x ≒ 0 の時 ) \\
\ln 2 &≒ 0.693
\end{split}
$$

より、

$$
\begin{split}
0.693 &\approx n \left(\frac{r}{100} \right) \\
n &\approx \frac{69.3}{r}
\end{split}
$$

あれ、69の法則…？

これは、「$\ln \left(1 + x \right) \approx x \ \ (x ≒ 0 の時 )$」の、「$(x ≒ 0 の時)$」という条件を正しく考慮していないのが原因だと言えます。

ちなみに、実際に計算してみると、以下のようになりました。まあ、72の法則は、あくまで近似値を求める方法ということです。